Elementary Submodel

定义 Definition

elementary submodel（初等子模型）：在模型论中，指结构 \(N\) 是结构 \(M\) 的一个子结构，并且对某一语言中的所有一阶公式（带参数自 \(N\)）的真值判断在 \(N\) 与 \(M\) 中完全一致。常记作 \(N \prec M\)。
（该术语也常用于集合论与逻辑中，如“\(M\) 是 \(H(\theta)\) 的一个初等子模型”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˌɛlɪˈmɛn.tə.ri/ /ˈsʌbˌmɑː.dəl/

例句 Examples

An elementary submodel preserves the truth of first-order statements.
初等子模型会保持一阶陈述的真值不变。

Let \(N \prec M\) be a countable elementary submodel; then any first-order property with parameters from \(N\) holds in \(N\) iff it holds in \(M\).
设 \(N \prec M\) 为一个可数初等子模型，则任何以 \(N\) 中参数为自由项的一阶性质，在 \(N\) 中成立当且仅当在 \(M\) 中成立。

词源 Etymology

elementary 在逻辑/模型论语境中表示“一阶的、初等的”，源自拉丁语 elementarius（与“基础/元素”相关）。submodel 由 *sub-*（“下、次级、子”）+ model（“模型”）构成，字面即“模型的子结构”。合起来强调：它不仅是“子结构”，还在“一阶层面（elementary）”与母模型保持同真性。

相关词 Related Words

• Elementary
• Submodel
• Elementary Embedding
• Substructure
• Model Theory
• First-Order Logic
• Tarski-Vaught Test
• Skolem Hull

文献与作品 Literary Works

• Chang, C. C. & Keisler, H. J., Model Theory（经典教材，系统讨论 \(N \prec M\) 等概念）
• Hodges, W., Model Theory（常用参考书，涵盖初等子结构与相关判别法）
• Marker, D., Model Theory: An Introduction（入门教材，使用并解释 elementary submodel）
• Jech, T., Set Theory（集合论中常用“可数初等子模型”等工具性用法）
• Kunen, K., Set Theory: An Introduction to Independence Proofs（独立性证明中频繁出现初等子模型方法）